蒙地卡羅法和模擬退火簡介
一、蒙地卡羅法的由來：
１．1940年代，美國在Los Almos發展核武器的副產品，因為和機率及亂
數有關，所以以當時最著名的賭場“蒙地卡羅”命名之，最初用於輻射
傳輸，統計物理及作業研究。
２．由於現今電腦運算發達，所以蒙地卡羅法便逐漸成為一個非常有力的工
具，在場論、粒子物理、化學、數學、經濟學等等都有很大的影響。
二、利用蒙地卡羅法計算圓面積：
１．利用電腦在二維平面隨機產生許多亂點，利用分布在不同地方的亂點數
來求圓及正方形的所含點數比值，如果已知正方形面積，便可以求圓的
面積。
２．取樣點數越多則越接近實際圓面積。
３．同理，可以求不規則圖形的面積
三、物理上的應用：
１．計算工具：處理高微積分、偏維分方程式邊界值問題、積分方程式解等
等。
２．模擬真實物理過程。
３．處理多自由度物理系統(many degrees of fredom)的模型及解法。
４．最佳化問題（Optimisation） 。
四、蒙地卡羅在高微積分上的應用：
ａ、計算對單一原子高維積分運算
＝有點難，但還可以接受。
ｂ、計算多原子高微積分運算（當積分次數超過現在超級電腦的負荷）
＝計算時間冗長，計算時間超過幾十年不足 為奇，或者無法處
理。如下列高微積分：
２．蒙地卡羅法解高微分計算
ａ、速度可以快上好幾十倍，利用亂數或機率來縮短計算時間，進而
完成一些平常無法完成的龐大計算，對現在科學發展有很大的幫助。
五、蒙地卡羅法模擬退火：
１．創造一個能量不會溢出的理想空腔，並放置定量的粒子數。
２．在這個理想空間內建立物理性質。
３．利用電腦隨機移動粒子，模擬高溫時粒子運動的情況。
４．降低溫度，觀察粒子在低溫中因最低能量而產生凝結的現象。
六、利用FORTRAN（Ｇ９５）模擬退火
１．設定初始溫度，空間大小，降溫速度
２．利用電腦亂數使粒子隨機移動
３．每個粒子會依分子動力學性質移動到能量最低處
４．逐漸降溫，並觀察當溫度最低和能量最低的凝結狀態
５．與實際情形比較
七、如何用蒙地卡羅法移動粒子：
１．全部隨機移動粒子對電腦運算負擔太大。
－＞則可以先移動一顆粒子，則每顆粒子位能都變不穩定，所以粒子
便會互相牽制並改變位置，再分解成ｘｙ分量以便作物理計算。
八、簡易的二維原子團模擬退火：
一個高溫狀態的原子團在逐漸降溫後會形成最低能量堆疊，在這裡我們把各原子的質量和大小都設為一樣，彼此作用的力都視為相等，則所型成的堆積就如下圖成二維最密堆積。
九、相變變化：
物質再相變變化時，分子排列會改變，如果新的排列系統能量較高，則為了 滿足相變變化，必須吸收熱能，相反的，新的排列能量較低，則相變化放出能量，此時系統能量的變化稱潛熱。
使用Ｇ９５經過電腦７０００萬次計算模擬平均能量與溫度圖：
也是使用Ｇ９5經過電腦７０００萬次計算模擬比熱與溫度圖：
十、完成基本架構後的工作
n 做對程式的最佳化，利用其他數學技巧或方法，使電腦在計算過程中更具有效率，以減少未來做大型模擬時候的電腦負擔。
n 持續以其他物理量參與模擬。
n 學習如何使一個團隊有共同的默契來維護或修改日後龐大的程式。
n 以不同的方法模擬同一個主題，比較哪些較為有效率
十一、參考資料
n 龚新高,推廣模擬退火與其應用,物理學發展,2000
n The Dynamics of Many Particles Systems
n 林誠謙,蒙地卡羅簡介,物理會刊(11卷2期),1989
n FORTARN視窗設計
學生：曾建誌 指導老師：鄒忠毅
跟新日期：２００５／１０